Normalus tikimybės kreivė: skaičiavimas, charakteristikos ir taikymas

Perskaitykite šį straipsnį, kad sužinotumėte apie normalios tikimybės kreivės statistiką skaičiavimą, charakteristikas ir taikymą.

Normalios tikimybės kreivės skaičiavimas:

Jei moneta nukreipiama nešališkai, ji pateks į galvą (H) arba uodegą (T). Tai tikimybė, kad galvos atsiras, yra viena galimybė dviem. Taigi H tikimybės santykis yra ½ ir T yra ½.

Lygiai taip pat mes išmestos dvi monetas, monetas x ir monetas, yra keturi galimi nukritimo būdai.

Taigi keturi galimi būdai - tiek x, tiek y gali nukristi H, x gali nukristi T ir y H, x gali nukristi H ir yT arba abu gali nukristi T.

Išreikštas santykiais

Dviejų galvų tikimybė = ¼

Dviejų uodegų tikimybė = ¼

Vienos H ir vienos T = ¼ tikimybė

Vienos T ir vienos H = ¼ tikimybė

Taigi santykis yra ¼ + ½ + ¼ = 1, 00

Tikėtiną dviejų monetų galvučių ir uodegų išvaizdą galima išreikšti taip:

(H + T) ² = H2 + 2HT + T2

Jei padidinsime monetų skaičių iki trijų, ty x, y ir Z, gali būti aštuoni galimi susitarimai.

Tikėtiną monetų galvučių ir uodegų išvaizdą galima išreikšti taip:

Tokiu būdu galime nustatyti skirtingų galvos ir uodegos bet kokio monetų derinių tikimybę. Mes galime gauti bet kokių monetų skaičiaus tikimybę binomine plėtra. Išraiška, kurioje yra du terminai, vadinama binomine išraiška. Binominė teorema yra algebrinė formulė, kuri išplečia binominės išraiškos galią serijos forma.

Formulė tokia:

(H + T) ⁿ = C (n, 0) Hn + C (n, 1) H ^n-1 T + C (n, 2) H ^{( n-2)} T2….

… + C (n, r) H ^nr T ^r +…. + C (n, n) T ⁿ … (11.1)

Kur C = galimi deriniai.

C (n, r) = n! / R! (n - r)!

n! reiškia 1 x 2 x 3 x…. xn

n = bendras stebimų ar asmenų skaičius.

r = Stebėjimų arba asmenų, paimtų vienu metu, skaičius.

Taigi binominė plėtra

Jei aukščiau pateikiami duomenys grafikoje pateikiami kaip histograma ir dažnio poligonas, jis bus toks, kaip nurodyta toliau (11.1 pav.)

Taigi skaičius, gautas iš 10 monetų (H + T) ^10, yra simetriškas daugiašalis daugiakampis.

Ir jei mes toliau didinsime monetų skaičių, kiekvienas padidinimas daugiakampis parodytų puikiai lygų paviršių liniją žemiau pateiktą 11.2 pav.

Ši varpinė formos kreivė vadinama „normalia tikimybės kreivė“. Taigi „normalios pasiskirstymo tikimybės tankio funkcijos grafikas yra nuolatinė varpinė kreivė, simetriška apie vidurkį“ vadinama normalia tikimybės kreivė.

Statistikoje tai svarbu, nes:

(a) Tai daugelio natūraliai pasitaikančių kintamųjų, pvz., 8-ojo laipsnio moksleivių žvalgybos, pasiskirstymas, 10-ojo laipsnio studentų aukštis ir kt.

b) Daugumos tėvų populiacijų mėginių pasiskirstymas yra normalus arba maždaug toks, kai mėginiai yra pakankamai dideli.

Todėl normalus kreivė turi didelę reikšmę socialiniams mokslams ir elgsenos mokslams. Elgesio matavime dauguma aspektų yra artimi normaliam pasiskirstymui. Taigi, kaip standartinė kreivė, naudojama įprastinė tikimybės kreivė arba populiariausia NPC. Norint suprasti NPC naudingumą, turime suprasti NPC savybes.

Normalios tikimybės kreivės charakteristikos:

Kai kurios pagrindinės normalios tikimybės kreivės savybės yra tokios:

1. Kreivė yra dvišalė simetriška.

Kreivė yra simetriška jos kreivės centrinio taško koordinatei. Tai reiškia, kad vienos kreivės pusės kreivės dydis, forma ir nuolydis yra identiški kitai kreivės pusei. Jei kreivė yra suskaldyta, dešinė pusė visiškai atitinka kairiąją pusę.

2. Kreivė yra asimptotinė:

Normalioji tikimybės kreivė artėja prie horizontaliosios ašies ir nuo-∞ iki + ∞. Tai reiškia, kad kraštiniai kreivės galai linkę paliesti pagrindinę liniją, bet niekada nelieskite jo.

Jis pavaizduotas žemiau pateiktame paveiksle (11.3):

3. Vidutinis, vidutinis ir režimas:

Vidutinis, mediana ir režimas nukrenta viduryje ir yra lygūs.

4. Liekamieji taškai yra ± 1 standartinis nuokrypio vienetas:

Įplaukos į NPC taškus atsiranda ± 1σ ir žemiau vidurkio. Taigi šiuo metu kreivė keičiasi iš išgaubtos į įgaubtą, palyginti su horizontalia ašimi.

5. Bendras NPC plotas padalintas į ± standartinius nuokrypius:

Bendras NPC yra padalintas į šešis standartinius nuokrypius. Iš centro jis yra padalintas į tris + ve 'standartinius nuokrypio vienetus ir tris „vėlesnius“ standartinius nuokrypio vienetus.

Taigi ± 3σ NPC apima skirtingą atvejų skaičių atskirai. Tarp ± 1σ yra viduriniai 2/3 atvejai arba 68, 26%, tarp ± 2σ - 95, 44% atvejų, o tarp ± 3σ - 99, 73% atvejų ir daugiau nei 3σ-aisiais tik 0, 37% atvejų.

6. Y ordinatas reiškia normalios tikimybės kreivės aukštį:

NPC y ordinatas rodo kreivės aukštį. Viduryje atsiranda didžiausia ordina. Kreivės aukštis vidutiniame arba viduriniame taške žymimas Y ₀ .

Kad nustatytumėte kreivės aukštį bet kuriame taške, mes naudojame šią formulę:

7. Tai unimodal:

Kreivė turi tik vieną smailės tašką. Kadangi didžiausias dažnis atsiranda tik viename taške.

8. Kreivės aukštis simetriškai mažėja:

Kreivės aukštis sumažėja iki simetriškai nuo centrinio taško. M + σ ir M - σ yra lygūs, jei atstumas nuo vidurkio yra lygus.

9. NPC vidurkis yra µ ir standartinis nuokrypis yra σ:

Kadangi NPC vidurkis rodo populiaciją, tai yra atstovaujama µ (Meu). Standartinis kreivės nuokrypis yra pateikiamas graikų laišku, σ.

10. Normalios tikimybės kreivėje standartinis nuokrypis yra 50% didesnis už Q:

NPC atveju Q paprastai vadinama tikėtina klaida arba PE.

PE ir a ryšys gali būti nurodytas taip:

1 PE = .6745σ

1σ = 1, 4826PE.

11. Q gali būti naudojamas kaip matavimo vienetas nustatant plotą tam tikroje dalyje:

12. Vidutinis NPC vidurkis yra .798σ:

NPC yra nuolatinis ryšys tarp standartinio nuokrypio ir vidutinio nuokrypio.

13. Modelio koordinatė vis labiau skiriasi nuo standartinio nuokrypio:

Normalios tikimybės kreivėje modalinis ordinatas vis labiau skiriasi nuo standartinio nuokrypio. Normalus tikimybės kreivės nuokrypis didėja, mažėja modalinis ordinatas ir atvirkščiai.

Normalios tikimybės kreivės taikymas:

Kai kurios svarbiausios normalios tikimybės kreivės programos yra tokios:

Normalios tikimybės kreivės principai elgsenos moksluose taikomi įvairiose srityse.

1. NPC naudojamas nustatant normalią pasiskirstymą pagal tam tikras ribas:

Normalios tikimybės kreivė padeda nustatyti:

i. Kiek procentų atvejų yra tarp dviejų balų balų.

ii. Kiek procentų balų viršija tam tikrą paskirstymo rezultatą.

iii. Kiek procentų balų yra žemiau tam tikro paskirstymo balo.

Pavyzdys:

Atsižvelgiant į balų pasiskirstymą, kai vidurkis yra 24 ir σ iš 8. Darant prielaidą, kad normalumas, kiek procentų atvejų sumažės nuo 16 iki 32.

Sprendimas:

Čia visų pirma turime konvertuoti 16 ir 32 balus į standartinį rezultatą.

Atvykstant į A lentelę, lentelės plotas pagal NPC, nustatyta, kad tarp vidutinių ir - 1σ ir 34, 13 atvejų nukrito tarp vidutinių ir +1σ. Taigi ± σ apima 68, 26% atvejų. Taigi 68, 25% atvejų sumažės nuo 16 iki 32 metų.

Pavyzdys:

Atsižvelgiant į balų pasiskirstymą vidurkiu 40 ir σ iš 8. Atsižvelgiant į normalumą, kiek procentų atvejų bus virš ir žemiau taško 36.

Sprendimas:

Pirmiausia mes turime konvertuoti neapdorotą rezultatą 36 į standartinį rezultatą.

Įvedus į A lentelę, lentelės plotas pagal NPC nustatoma, kad 19, 15% atvejų nukrito tarp vidurkio ir –5σ. Todėl bendras atvejų, viršijančių rezultatą 36, procentas yra 50 + 19, 15 = 69, 15% ir mažesnis už rezultatą 36 yra 50-19, 15 = 30, 85%. Taigi pasiskirstymo atveju 69, 15% atvejų viršija rezultatą 36 ir 30, 85% balų yra mažesni už rezultatą 36.

2. NPC naudojamas norint nustatyti taško vertę, kurios procentilis reitingas yra pateiktas:

Naudojant NPC lentelę, mes galime nustatyti neapdoroto asmens balą, jei yra nurodytas procentilio rangas.

Pavyzdys:

Pasiskirstymo partijos balų Pinky procentilių rangas statistikoje yra 65. Pasiskirstymo vidurkis yra 55, kai standartinis nuokrypis yra 10. Rasti, bet „Pinky“ žaliavos balas statistikoje.

Sprendimas:

Kadangi „Pinky“ procentilinis rangas yra 65, tad normalioje pasiskirstymo vietoje jos padėtis yra 35% didesnė už vidurkį. Įvedę į lentelę „A“ nustatėme, kad 35% iš vidurkio yra + 1, 04 σ.

Įdėję vertę į „Z“ balą.

3. NPC naudojamas norint nustatyti ribas normaliajame paskirstyme, kuriame yra tam tikras procentas atvejų:

Paprastai pasiskirstymas ir tai, ką mes žinome apie pasiskirstymą yra vidutinis ir standartinis nuokrypis tuo metu, naudojant lentelės sritį pagal NPC, galime nustatyti ribas, kurios apima tam tikrą atvejų procentą.

Pavyzdys:

Atsižvelgiant į balų pasiskirstymą, kai vidurkis yra 20 ir σ 5. Jei prisiimame normalumą, kokios ribos apims vidutinį 75% atvejų.

Sprendimas:

Įprasto pasiskirstymo atveju vidutinis 75% atvejų apima 37, 5% atvejų, viršijančių vidurkį, ir 37, 5% atvejų žemiau vidurkio. Iš A lentelės galime pasakyti, kad 37, 5% atvejų apima 1, 15 σ vienetų. Todėl vidutinis 75% atvejų yra tarp vidutinių ir ± 1, 15 σ vienetų.

Taigi šiame paskirstyme vidutiniškai 75% atvejų bus 14.25–25.75.

4. Jis naudojamas dviem paskirstymams lyginti:

Jei tam tikro kintamojo dviejų grupių balai paprastai yra paskirstomi. Tai, ką mes žinome apie grupę, yra vidutinis ir standartinis abiejų grupių nuokrypis. Ir mes norime žinoti, kiek pirmoji grupė perkelia antrąją grupę arba atvirkščiai tuo metu mes galime tai nustatyti naudodami lentelės plotą pagal NPC.

5. NPC padeda mums suskirstyti grupę į pogrupius pagal tam tikrus gebėjimus ir priskiriant klases:

Kai norime suskirstyti didelę grupę į tam tikras pogrupius pagal tam tikrą tam tikrą gebėjimą tuo metu, mes naudojame NPC standartinius nuokrypio vienetus kaip matavimo vienetus.

Pavyzdys:

Sėkmės testas buvo atliktas 600 aštuntųjų klasių mokiniams. Mokytojas nori priskirti šiuos mokinius į 4 klases, ty A, B, C ir D pagal jų atliktą testą. Darant prielaidą, kad balų pasiskirstymo normalumas yra apskaičiuojamas, kiekvienoje grupėje galima įrašyti studentų skaičių.

Sprendimas:

Plotas pagal NPC yra padalintas į ± 3σ arba 6σ vienetus.

Čia turime suskirstyti studentus į 4 skyrius.

Taigi kiekvienas skyrius turi

Taigi, jei mes skirsime skyrių pagal nuopelnus.

Skyrius-A bus nuo 1, 5σ iki 3σ

B skirsnis bus vidurkis iki 1, 5σ

C skirsnis bus vidurkis iki –1, 5σ

ir D skyrius bus su -1, 5σ į - 3σ.

6. NPC padeda nustatyti santykinį bandymų elementų ar problemų sunkumą:

Kai žinoma, kad procentas studentų sėkmingai išsprendė problemą, galime nustatyti elemento ar problemos sudėtingumo lygį naudojant lentelės plotą pagal NPC.

7. NPC yra naudinga norint normalizuoti dažnio paskirstymą:

Norint normalizuoti dažnio pasiskirstymą, naudojame įprastą tikimybės kreivę. Norint standartizuoti psichologinį testą, šis procesas yra labai reikalingas.

8. Norėdami išbandyti eksperimentų stebėjimo svarbą, naudojame NPC:

Eksperimente mes tikriname kintamųjų santykį, ar tai susiję su atsitiktiniais svyravimais ar atrankos procedūros klaidomis, ar tai yra tikras santykis. Tai daroma naudojant lentelės plotą pagal NPC.

9. NPC naudojamas apibendrinant apie imtį iš gyventojų:

Apskaičiuojame standartinę vidurkio paklaidą, standartinio nuokrypio standartinę paklaidą ir kitą statistiką, kad apibendrintume apie populiaciją, iš kurios imamas mėginys. Šiam skaičiavimui mes naudojame lentelės sritį pagal NPC.