Nuolatinis skaičiavimas: simbolizavimas, tiesos funkcijos ir jų tarpusavio apibrėžtis

Nuolatinis skaičiavimas: simbolizavimas, tiesos funkcijos ir jų tarpusavio apibrėžtis!

Simbolizavimas - specialiųjų simbolių vertė:

Anglų ar kitomis natūraliomis kalbomis pateiktus argumentus dažnai sunku vertinti dėl neaiškių ir neaiškių vartojamų žodžių pobūdžio, jų konstrukcijos dviprasmiškumo, klaidinančių idėjų, kurių jie gali turėti, jų galimai paini metaforiško stiliaus ir išsiblaškymo dėl to, kad bet kokia emocinė reikšmė, kurią jie gali išreikšti.

Net po šių sunkumų išsprendimo vis dar lieka problemos, susijusios su argumento galiojimo ar negaliojimo nustatymu, problema. Siekiant išvengti šių periferinių sunkumų, patogu sukurti dirbtinę simbolinę kalbą, kurioje nėra tokių defektų, kuriuose būtų galima suformuluoti teiginius ir argumentus.

Specialios loginės žymos naudojimas nėra būdingas šiuolaikinei logikai. Aristotelis taip pat naudojo kintamuosius savo darbui palengvinti. Nors skirtumas tarp šiuolaikinės ir klasikinės logikos nėra vienintelis, bet laipsnis, laipsnio skirtumas yra milžiniškas.

Kuo labiau šiuolaikinė logika sukūrė savo specialią techninę kalbą, ji tapo neišmatuojama galingesnė analizės ir atskaitos priemonė. Specialūs šiuolaikinės logikos simboliai padeda mums aiškiau parodyti logines struktūras ir argumentus, kurių formos gali būti užtemtos paprastos kalbos nelankstumu.

Dar viena logiko specialių simbolių vertė yra pagalba, kurią jie teikia faktiškai naudojant ir manipuliuodamos pareiškimais ir argumentais. Čia padėtis yra panaši į tą, dėl kurios romėniški skaitmenys buvo pakeisti arabų kalba. Visi žinome, kad arabiški skaičiai yra aiškesni ir lengviau suprantami nei senesni romėniški skaitmenys, kuriuos jie perkėlė.

Tačiau tikrasis arabų skaitmenų pranašumas atskleidžiamas tik skaičiavimuose. Bet kuris studentas gali lengvai padauginti 113 iki 9. Tačiau daugintis CXIII pagal IX yra sudėtingesnis uždavinys, o sunkumas didėja, atsižvelgiant į didesnius ir didesnius skaičius. Panašiai išvadų išvadas ir argumentų vertinimą labai palengvina specialus loginis žymėjimas.

Šiuolaikiniai logikai galvoja, kad simboliškumo dėka mes galime beveik visiškai mechaniškai pereiti per motyvaciją, o tai priešingu atveju leistų žaisti aukštesnius smegenų gebėjimus.

Šiuo požiūriu, paradoksaliai, logika nėra susijusi su mūsų mąstymo galių plėtojimu, o su besivystančių metodų, leidžiančių mums atlikti tam tikras užduotis, be to, mąstyti taip daug.

Sujungimo, neigimo ir disjunkcijos simboliai:

Mes paskirstome visus teiginius į dvi bendras kategorijas: paprastas ir sudėtingas. Paprastas pareiškimas yra tas, kuris neturi jokio kito pareiškimo kaip komponento. Pavyzdžiui, „Sudhir's honest“ yra paprastas pareiškimas. Sudėtinis pareiškimas yra kitas, kaip komponentas, pareiškimas. Pavyzdžiui, „Sudhir sąžiningas ir Sudhir protingas“ yra sudėtinis teiginys, nes jame yra du paprasti teiginiai kaip komponentai.

Pareiškimo sudedamosios dalies sąvoka yra gana paprasta, nors ji nėra tokia pati kaip „pati dalis, kuri yra pareiškimas“. Pavyzdžiui, paskutiniai keturi žodžiai „Lincoln'o kulto žmogus buvo aktorius“ iš tiesų galėtų būti laikoma savarankišku pareiškimu. Tačiau šis teiginys nėra sudedamoji dalis, kurią sudaro keturi žodžiai.

Norint, kad dalis pareiškimo būtų šio pareiškimo sudedamoji dalis, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: pirma, dalis turi būti savarankiškas pareiškimas, ir, antra, jei dalis didesniame pareiškime pakeičiama bet kuriuo kitu pareiškimu, šio pakeitimo rezultatas bus prasmingas. Nors pateiktame pavyzdyje įvykdyta pirmoji sąlyga, antroji nėra. Nes jei dalis „Lincoln buvo aktorius“ pakeičiama „Afrikoje liūtų“, rezultatas yra nesąmoninga išraiška „Žmogus, kuris ten nušovė, yra liūtai Afrikoje“.

Susijungimas :

Sąsaja yra sudėtinio pareiškimo tipas. Galime suformuoti dviejų teiginių junginį, įterpdami žodį „ir“ tarp jų; abu tokie kartu pateikiami teiginiai vadinami „konjunktūromis“. Taigi sudėtinis pareiškimas „Sudhiro sąžiningas ir sumanus Sudhiras“ yra junginys, kurio pirmoji jungtis yra „sąžiningas Sudhiras“ ir kurio antrasis junginys yra „Sudhir protingas“.

Žodis „ir“ yra trumpas ir patogus žodis. Pvz., Teiginys „Nehru ir Netaji buvo amžininkai“ nėra ryšys, o paprastas teiginys, išreiškiantis santykius. Norėdami turėti unikalų simbolį, kurio vienintelė funkcija yra sujungti pareiškimus konjunktyviai, mes įvedame tašką „•“ kaip mūsų simbolį. Taigi ankstesnis ryšys gali būti parašytas kaip „Sudhir sąžiningas Sudhir protingas“. Apskritai, kur p ir q yra bet kokie du teiginiai, jų sąsaja rašoma p • q.

Mes žinome, kad kiekvienas teiginys yra teisingas arba klaidingas. Todėl mes sakome, kad kiekvienas teiginys turi tiesos vertę, kur tikrosios tiesos reikšmė yra teisinga, o neteisingo pareiškimo tiesa yra klaidinga. Naudojant šią „tiesos vertės“ sąvoką, junginius galima suskirstyti į dvi skirtingas kategorijas, atsižvelgiant į tai, ar junginio teiginio tiesinė vertė yra visiškai nustatoma pagal jo komponentų tiesines vertes, ar nustatoma pagal ką tik ne tiesos vertes komponentų.

Šį skirtumą taikome sujungimams. Dviejų teiginių sąryšio tiesos vertę visiškai ir visiškai lemia jos dviejų junginių tiesos vertybės. Jei abu jo junginiai yra teisingi, sąsaja yra tiesa; kitaip jis yra klaidingas. Dėl šios priežasties sakoma, kad junginys yra tikrasis funkcinis junginys, ir sakoma, kad jos junginiai yra jo funkciniai komponentai.

Tačiau ne kiekvienas junginio pareiškimas yra teisingas. Mūsų dabartiniams tikslams mes apibūdiname sudėtinio pareiškimo komponentą, kuris yra jo funkcinis komponentas, su sąlyga, kad, jei komponentas junginyje pakeistas skirtingais teiginiais, turinčiais tokią pačią tiesos vertę, kaip ir kitos, pateikiami skirtingi sudėtiniai teiginiai. šie pakeitimai turės tas pačias tiesos vertybes, kaip ir kitos. O dabar mes apibūdiname junginio teiginį, kad jis yra tikras funkcinis junginys, jei visi jo komponentai yra tiesiniai funkciniai jo komponentai.

Sąveika yra tikras funkcinis junginys, todėl mūsų taško simbolis yra tikra funkcinė jungtis. Atsižvelgiant į du pareiškimus, /; ir q, yra tik keturi galimi tiesos vertybių rinkiniai, kuriuos jie gali turėti. Šie keturi galimi atvejai ir kiekvienos jungties tiesos vertė gali būti rodomi taip:

Kai p yra teisinga ir q yra teisinga, p • q yra tiesa.

Kai p yra teisingas ir q yra klaidingas, p • q yra klaidingas.

Kai p yra klaidingas ir q yra teisingas, p • q yra klaidingas.

Kai p yra klaidingas ir q yra klaidingas, p • q yra klaidingas.

Jei didžiosiomis raidėmis T ir F atstovaujame tiesos vertes „tiesa“ ir „klaidinga“, tiesos vertybių sąsajos tiesos reikšmės nustatymas gali būti trumpiau ir aiškiau vaizduojamas tiesos būdu lentelė kaip

Patogu trumpinti paprastus raštus didžiosiomis raidėmis, paprastai naudojant šiam tikslui laišką, kuris padės mums prisiminti, kokį teiginį jis sutrumpina. Taigi mes turėtume sutrumpinti „Sudhir's sąžiningą ir Sudhiro intelektualų“ kaip H • I.

Kai kurios jungtys, kurių abu junginiai turi tą patį dalyko terminą - pavyzdžiui, „Byronas buvo puikus poetas ir Byronas buvo puikus nuotykių ieškotojas“, yra trumpiau ir galbūt natūraliau pateikiami anglų kalba, įterpiant „ir“ tarp predikcinių terminų ir nesikartojant dalyko termino, kaip „Byronas buvo puikus poetas ir puikus nuotykių ieškotojas“.

Tas pats teiginys, kaip ir buvęs, ir simbolizuoja vieną iš jų abejingai kaip P • A. Jei abu junginio junginiai turi tą patį predikcinį terminą, kaip ir „Lewis buvo garsus tyrinėtojas ir Clarkas buvo žinomas tyrėjas“, dar kartą ryšys būtų Anglų kalba nurodoma, kad „ir“ tarp dalyko terminų ir ne kartoti predikato, kaip „Lewis ir Clark buvo garsūs tyrėjai“.

Kaip matyti iš tiesos lentelės, apibrėžiančios taško simbolį, jungtis yra teisinga, jei ir tik tada, kai abi jos jungtys yra teisingos. Tačiau žodis „ir“ turi kitą naudojimą, kai jis reiškia ne tik (tiesą-funkcinį) ryšį, bet ir „ir vėliau“ prasmę, o tai reiškia laikiną paveldėjimą.

Taigi teiginys „Jonesas atvyko į Niujorką ir išėjo tiesiai į Čikagą“ yra reikšmingas ir gali būti tiesa, kadangi „Jonesas tiesiai į Čikagą ir atvyko į Niujorką“ yra sunkiai suprantamas.

Ir yra daug skirtumo tarp „Jis paėmė savo batus ir pateko į lovą“ ir „Jis pateko į lovą ir nuimė batus.“ Šių pavyzdžių svarstymas pabrėžia, kad pageidautina turėti ypatingą simbolį, turintį vien tik tiesiai veikiančią sąsają. naudoti.

Pažymėtina, kad angliški žodžiai „bet“, „dar“, „taip pat“, „vis dar“, „nors“, „vis dėlto“, „vis dėlto“ ir pan. kabliataškis, taip pat gali būti naudojamas sujungti du teiginius į vieną sudėtinį teiginį, o jų konjunktyvine prasme jie visi gali būti pavaizduoti taškiniu simboliu.

Neigiama:

Anotacijos anglų kalba neigimas (arba prieštaravimas ar neigimas) dažnai formuojamas įterpiant „ne“ į pradinį pareiškimą. Kita vertus, galima išreikšti pareiškimo neigimą anglų kalba, prieš jį pridedant frazę „tai yra klaidinga“, arba „tai nėra taip.“ Įprasta naudoti šį simbolį (vadinamą „garbanojimu“, arba mažiau dažnai „tilde“), kad būtų suformuluotas pareiškimo neigimas. Taigi, kur M simbolizuoja teiginį „Visi žmonės yra mirtingi“, įvairūs pareiškimai

„Ne visi žmonės yra mirtingi“, - „Kai kurie žmonės nėra mirtingi“, - „Neteisinga, kad visi žmonės yra mirtingi“, ir „Tai nėra atvejis, kai visi žmonės yra mirtingi“, visi abejingai simbolizuojami kaip „M“. Apskritai, kur p yra bet koks teiginys, jo neigimas yra parašytas ~ p. Akivaizdu, kad kreivė yra tiesus veikiantis operatorius. Bet kokio tikro pareiškimo neigimas yra klaidingas, o bet kokio klaidingo pareiškimo neigimas yra teisingas. Šis faktas gali būti pateikiamas labai paprastai ir aiškiai, naudojant tiesos lentelę:

Ši tiesos lentelė gali būti laikoma neigimo simbolio apibrėžimu.

Atsiskyrimas:

Dviejų teiginių atskyrimas (arba kintamumas) formuojamas anglų kalba, įterpiant žodį „arba“ tarp jų. Taip sujungtos dvi sudedamosios dalys yra vadinamos „disjunktais“ (arba „alternatyvomis“). Anglų, žodis „arba“ yra dviprasmiškas, turintis dvi susijusias, bet išskirtines reikšmes.

Vienas iš jų yra parodyta pareiškime „Priemokos bus atsisakomos ligos ar nedarbo atveju“, nes čia akivaizdu, kad įmokos netaikomos ne tik ligoniams ir bedarbiams, bet ir asmenims, kurie serga bedarbiams.

Ši žodžio „ar“ prasmė vadinama „silpna“ arba „imtinai“. Įtraukianti disjunkcija yra teisinga tuo atveju, jei vienas ar vienas ar abu disjunktai yra teisingi; tik tuo atveju, jei abu disjunktai yra klaidingi, jų imtinai yra klaidinga. Įtraukiantis „arba“ reiškia „galbūt abu“.

Žodis „arba“ taip pat vartojamas stipriai ar išimtinai, kai reikšmė yra ne „bent vienas“, bet „bent vienas ir ne daugiau kaip vienas“. Kai restorane vakarienės meniu yra „salotos ar desertas“, tai aiškiai reiškia, kad už nurodytą valgio kainą, valgomasis gali turėti vieną ar kitą, bet ne abu.

Dviejų teiginių inkliuzinę disjunkciją aiškiname kaip teiginį, kad bent vienas iš teiginių yra teisingas, ir aiškiname jų išimtinę disjunkciją kaip teiginį, kad bent vienas iš teiginių yra teisingas, bet ne abu yra teisingi.

Atkreipkite dėmesį, kad dviejų rūšių disjunkcija turi bendrą jų reikšmių dalį. Ši dalinė bendroji reikšmė, kad bent vienas iš jų yra teisingas, yra visa apimanti „ar“ ir išimtinės „ar“ reikšmės dalis.

Kai p ir q yra bet kokie du teiginiai, jų silpna arba visa apimanti disjunkcija yra ittenwritten p ᵛ q. Mūsų simbolis įtraukiamam disjunkcijai (vadinamas „pleištu“, arba rečiau - „vee“) taip pat yra tiesus-funkcinis ryšys. Silpna disjunkcija yra klaidinga tik tuo atveju, jei abi jos disjunkcijos yra klaidingos. Mes galime laikyti, kad pleištas yra apibrėžiamas pagal šią tiesos lentelę:

Pirmasis šiame skyriuje pateiktas argumento argumentas buvo disjunkcinis sililizmas.

Aklas kalinys turi raudoną skrybėlę arba aklas kalinys turi baltą skrybėlę.

Aklas kalinys neturi raudonos skrybėlės.

Todėl aklas kalinys turi baltą skrybėlę.

Jo forma apibūdinama sakant, kad jos pirmoji prielaida yra disjunkcija; jos antroji prielaida yra pirmosios prielaidos pirmojo atmetimo neigimas; ir jos išvada yra tokia pati, kaip ir pirmoji prielaida. Akivaizdu, kad tokiu būdu apibrėžtas disjunkcinis syllogism galioja žodžiu „arba“ aiškinant, nepriklausomai nuo to, ar yra numatytas inkliuzinis ar išskirtinis disjunkcija.

Kadangi tipiškas galiojantis argumentas, turintis prielaidą dėl prielaidos, yra panašus į disjunkcinį syllogism, galiojantį žodžiui „arba“ aiškinant, supaprastinimas gali būti atliktas verčiant anglišką žodį „arba“ į mūsų loginį simbolį „ᵛ“ —Neatsižvelgiant į tai, kokią reikšmę reiškia angliškas žodis „arba“.

Kai abu disjunktai turi tą patį terminą arba tą patį predikcinį terminą, dažnai natūralu suspausti jų disjunkcijos formuluotę anglų kalba taip, kad „arba“ kad nereikėtų pakartoti dviejų dalelių bendros dalies .

Taigi „arba Smith yra savininkas, arba Smith yra vadybininkas“, taip pat gali būti teigiama, kad „Smith yra savininkas arba vadybininkas“, ir bet kuris iš jų yra tinkamai simbolizuotas kaip O v. Ir „Bet kuris Raudonas yra kaltas arba Butchas yra kaltas “dažnai būtų nurodomas kaip„ Raudonasis arba Butchas yra kaltas “, arba vienas iš jų simbolizuojamas kaip R ᵛ B.

Žodis „nebent“ dažnai vartojamas dviejų teiginių išskaidymui. Taigi, „Jūs blogai atliksite egzaminą, nebent studijuotumėte“ yra teisingai simbolizuotas kaip P ᵛ S. Priežastis yra ta, kad mes naudojame „nebent“ reiškia, kad jei vienas pasiūlymas nėra teisingas, kitas yra arba bus tiesa.

Tačiau žodis „nebent“ kartais naudojamas perduoti daugiau informacijos nei tai; tai gali reikšti, kad vienas ar kitas pasiūlymas yra teisingas, bet ne abu yra tiesa. Tai reiškia, kad „nebent“ gali būti skirta kaip išskirtinė funkcija.

Taigi Jeremy Bentham rašė: „Tai, kas yra politiškai gera, negali būti moraliai bloga, nebent aritmetikos taisyklės, kurios yra geros daugeliui, yra blogos mažam.“ Čia autorius reiškė, kad bent vienas iš dviejų atmetimų yra tiesa, bet jis taip pat aiškiai pasiūlė, kad jie negali būti abu.

Skyryba:

Anglų kalba reikalaujama, kad skyrybos ženklai būtų aiškūs. Naudojami daug skirtingų skyrybos ženklų, be kurių daugelis sakinių būtų labai dviprasmiški. Simbolinės logikos kalba tos pačios skyrybos ženklai - skliausteliai, skliausteliai ir petnešos - yra vienodai svarbūs, nes logikos sudėtyje teiginiai dažnai būna sudėtingesni.

Taigi p • q ᵛ r yra dviprasmiškas. Tai gali reikšti, kad p jungtis su q disfunkcija su r, arba tai gali reikšti disjunkciją, kurios pirmoji disjunkcija yra p ir q jungtis ir kurios antroji disjunkcija yra r. Šiuos du skirtingus pojūčius išskiriame įvedę nurodytą formulę kaip p • (q ᵛ r) arba dar (p • q) ᵛ r.

Tai, kad skirtingi pradinės formulės skyrybos būdai daro skirtumą, gali būti vertinami atsižvelgiant į atvejį, kai p yra klaidingas, o q ir r abu yra tiesa. Tokiu atveju antroji skyrybos formulė yra teisinga (nuo pat antrosios disjunkcijos yra tiesa), o pirmasis yra klaidingas (nuo pirmojo konjunktūros yra neteisingas).

Čia skyrybos skirtumai daro skirtumą tarp tiesos ir melagingumo, nes skirtingos skyrybos gali priskirti skirtingas tiesos reikšmes dviprasmiškam p • q ᵛ r. Disjunkcijos neigimas dažnai susidaro naudojant frazę „nei nei, nei“. Taigi pareiškimas gali prieštarauti teiginiui „Shakespeare arba Bernard Shaw“. „Nei Shakespeare, nei Bernard Shaw nebuvo didžiausias dramaturgas.“ Disjunkcija būtų simbolizuojama kaip S v B, o jos neigimas - kaip ~ (S ᵛ B) arba kaip (~ S) • (~ B).

Atsižvelgiant į mūsų simbolinės kalbos skyrybos ženklus, galima rašyti ne tik junginius, neigimus ir silpnus disjunkcijas, bet ir išskirtinę disjunkciją. Išskirtinė p ir q disjunkcija patvirtina, kad bent vienas iš jų yra teisingas, bet ne abu yra tiesa, kuri yra parašyta paprasčiausiai kaip (p ᵛ q) '~ (p • q).

Bet koks sudėtinis teiginys, sudarytas iš paprastų teiginių, naudojant tik tiesinius funkcinius jungiklius - tašką, garbaną ir pleištą, turi savo tiesos vertę, visiškai nustatytą iš paprastų pareiškimų komponento tiesos ar melagingumo.

Jei žinome paprastų teiginių tiesines vertes, bet kurio tiesos funkcinio junginio tiesinė vertė yra lengvai apskaičiuojama. Pavyzdžiui, jei A ir B yra teisingi, o X ir Y yra klaidingi teiginiai, apskaičiuojame junginio pareiškimo ~ [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B) tiesinę vertę taip. Kadangi X yra neteisingas, junginys A • X yra klaidingas, nesvarbu, kad jo neigimas ~ (A • X) yra teisingas. B yra tiesa; todėl jo neigimas ~ B yra klaidingas, ir kadangi Y taip pat yra klaidingas, Y disjunkcija su ~ B, Y ᵛ ~ B yra klaidinga.

Bracketed formulė [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B)] yra tikroji su neteisingu pareiškimu ir todėl yra klaidinga. Taigi jo neigimas, kuris yra visas pareiškimas, yra teisingas. Tokia laipsniška procedūra visada leidžia mums nustatyti sudėtinės formulės tiesinę vertę iš jos komponentų tiesinių vertybių.

Sąlyginiai pareiškimai ir reikšmingas poveikis:

Kai du teiginiai derinami pateikiant žodį „jei“ prieš pirmąjį ir įterpiant žodį „tada“ tarp jų, gautas sudėtinis pareiškimas yra sąlyginis (taip pat vadinamas „hipotetiniu“, „netiesioginiu“ arba „netikru pareiškimu“). .) Sąlyginiame komponento pareiškime, kuris seka „jei“ yra vadinamas „ankstesniuoju ir komponento pareiškimu, kuris seka„ tada “, yra„ pasekmė “.

Pavyzdžiui: „Jei ponas Jonesas yra gretimojo kaimyno kaimynas, tada Jonesas uždirba lygiai tris kartus daugiau nei stabdytojas“ yra sąlyginis pareiškimas, kuriame „ponas Jonesas yra gretimojo kaimyno kaimynas“ - tai pirmtakas ir „p. Jonesas uždirba lygiai tris kartus daugiau nei stabdytojas.

Dabar mes pristatome specialų simbolį, kuris atspindi tai, kas yra bendroji „jei-tada“ frazės dalinė reikšmė. Nustatome naują „z ﬤ“ simbolį (vadinamą „pasagos“), kai p ﬤ q laikomas ~ (p • q) santrumpa. Tikslią „3“ simbolio reikšmę galima nurodyti tiesos lentelėje:

Čia pirmosios dvi stulpeliai yra orientaciniai stulpeliai; jie tiesiog išdėsto visus galimus tiesos ir melagingumo derinius p ir q. Trečiasis stulpelis užpildomas pagal antrąjį, ketvirtąjį pagal pirmąjį ir trečiąjį, penktą pagal ketvirtąjį, o šeštą - identišką penktajai pagal apibrėžimą.

Simbolis „ﬤ“ neturi būti laikomas „jei — tada“ prasme ar užuot buvusio santykio santykiu. Tai būtų neįmanoma, nes nėra jokios „jei — tada“ reikšmės; yra keletas reikšmių. Tačiau simbolis „z ﬤ“ yra visiškai nedviprasmiškas. Kas pdq sutrumpina yra ~ (p • ~ q), kurio reikšmė yra įtraukta į kiekvienos svarstomos įvairios reikšmės reikšmę, bet kuri nesudaro visos jų reikšmės.

Simbolį „ﬤ“ galime laikyti kitokia prasme, ir tai tikslinga, nes patogus būdas skaityti p ﬤ q yra „jei p tada q“. Tačiau tai nėra tokio paties pobūdžio prasmė kaip bet kuris iš anksčiau minėtų. Logikai tai vadina „materialine prasme“, kurie, suteikdami ypatingą pavadinimą, pripažįsta, kad tai yra ypatinga sąvoka, o ne painioti su kitais, labiau įprasta, pasekmių tipais.

Nėra jokios „tikros sąsajos“ tarp ankstesnės ir tolimesnės reikšmės. Visa tai tvirtina, kad iš tikrųjų tai nėra atvejis, kai pirmtakas yra teisingas, kai pasekmė yra klaidinga. Pažymėtina, kad materialiosios reikšmės simbolis yra tikra funkcinė jungtis, kaip ir sujungimo ir disjunkcijos simboliai. Kaip tokia, tai apibrėžia tiesos lentelė.

Kaip apibrėžta tiesos lentelėje, pasagos simbolis „ﬤ“ turi tam tikrų funkcijų, kurios iš pradžių gali atrodyti keista. Teiginys, kad klaidingas ankstesnis dalykas iš tikrųjų reiškia tikrą pasekmę, yra teisingas; taip pat yra teiginys, kad klaidingas pirmtakas iš esmės reiškia klaidingą rezultatą.

Tiesos funkcijos ir jų tarpusavio apibrėžties formos, medžiagos lygiavertiškumas ir loginis lygiavertiškumas:

Viena vertus, lygiagrečiai tarp argumento ir argumento santykio, ir, antra, teiginio ir pareiškimo formos santykio. „Pareiškimo formos“ apibrėžimas tai parodo: Pareiškimo forma - tai bet kokia simbolių seka, apimanti pareiškimų kintamuosius, bet ne teiginiai, tokiu būdu, kai pareiškimai pakeičiami pareiškimo kintamiesiems - tas pats teiginys pakeičiamas tuo pačiu pareiškimo kintamuoju - rezultatas yra pareiškimas.

Taigi p ᵛq yra pareiškimo forma, kai pareiškimai pakeičiami kintamaisiais p ir q, ataskaitos rezultatai. Kadangi gautas teiginys yra disjunkcija, pvq yra vadinama „disjunkcinio pareiškimo forma“. Analogiškai p • q ir p ﬤ q yra vadinami „konjunktyviniais“ ir „sąlyginiais pareiškimais, “ ir „p“ vadinama „neigimo forma“ arba „ atsisakymo forma. “

Kaip ir bet kuris tam tikros formos argumentas yra tariamai tokio argumento formos pakaitalas, todėl bet koks tam tikros formos pareiškimas yra šio pareiškimo formos pakaitalas. Ir kaip mes išskyrėme tam tikrą konkretaus argumento formą, todėl išskiriame konkrečią konkretaus teiginio formą kaip tą teiginį, formą, iš kurios gautas teiginys, pakeisdamas skirtingą paprastą pareiškimą kiekvienam skirtingam pareiškimo kintamajam. Tokiu būdu pvq yra konkreti forma „Aklas kalinys turi raudoną skrybėlę arba aklas kalinys turi baltą skrybėlę“.

Tautologinės, prieštaringos ir kontingentinės pareiškimų formos:

Tai visiškai natūralu, kad jaučiasi, kad nors teiginiai „Lincoln buvo nužudyti“ (simbolizuojami kaip L) ir „Arba Lincoln buvo nužudyti, ar kitaip jis nebuvo“ (simbolizuojamas kaip „L v ~ L“), abu yra tiesa, jie yra teisingi “. skirtingais būdais “arba„ turi skirtingų tipų tiesos “. Be to, visiškai natūralu manyti, kad nors teiginiai „Vašingtonas buvo nužudytas“ (simbolizuojamas kaip W) ir „Vašingtonas buvo nužudyti ir nežudyti“ (simbolizuojami kaip W • ~ W), abu yra klaidingi, jie yra klaidingi skirtingais būdais “arba„ turi skirtingų rūšių melagingą “. Nepradėdami apsimesti šių „jausmų“ psichologinio paaiškinimo, vis dėlto galime atkreipti dėmesį į tam tikrus loginius skirtumus, kuriems jie yra tinkami.

Pareiškimas L yra teisingas ir teiginys W yra klaidingas; tai yra istoriniai faktai. Nėra logiškos būtinybės jiems. Įvykiai galėjo įvykti kitaip, ir tokių teiginių, kaip L ir W, tiesos vertybės turi būti atskleidžiamos empiriniu istorijos tyrimu.

Tačiau teiginys L v ~ L, nors ir tiesa, nėra istorijos tiesa. Čia yra logiška būtinybė: įvykiai negalėjo būti tokie, kad juos padirbtų, ir jo tiesa gali būti žinoma nepriklausomai nuo konkretaus empirinio tyrimo. Pareiškimas L v ~ L yra logiška tiesa, formali tiesa, tiesa, vien dėl savo formos. Tai pakaitinio egzemplioriaus išrašas, kurio visi pakeitimo atvejai yra tikri pareiškimai.

Pareiškimas iš to, kad turi tik tikrus pakeitimo atvejus, vadinamas „tautologine pareiškimo forma“ arba „tautologija“. mes statome tokią tiesos lentelę:

Šioje tiesos lentelėje yra tik vienas pradinis arba orientacinis stulpelis, nes nagrinėjamoje formoje yra tik vienas pareiškimo kintamasis. Todėl yra tik dvi eilutės, kurios atspindi visus galimus pakeitimo atvejus.

Skiltyje, atitinkančioje atitinkamą pareiškimo formą, yra tik T, ir tai rodo, kad visi jo pakeitimo atvejai yra teisingi. Bet koks teiginys, kuris yra tautologinio pareiškimo formos pakaitalas, yra teisingas dėl jo formos ir pats sako, kad jis yra tautologinis, arba tautologija.

Pareiškimas iš to, kad turi tik klaidingus pakeitimo atvejus, sako, kad jis yra „prieštaringas“ arba „prieštaravimas“ ir yra logiškai klaidingas. P • ~ p pareiškimas yra savaime prieštaringas, nes jo tiesos lentelėje yra tik F, kurie reiškia, kad visi jo pakeitimo atvejai yra klaidingi. Bet koks pareiškimas, pvz., W • W, kuris yra savaime prieštaraujančio pareiškimo formos pakaitinis atvejis, yra klaidingas dėl savo formos ir pats savaime yra savęs prieštaringas ar prieštaringas.

Pareiškimo formos, turinčios tiek teisingų, tiek klaidingų teiginių tarp jų pakeitimo atvejų, vadinamos „neapibrėžtųjų pareiškimų formomis“. Bet koks pareiškimas, kurio konkreti forma yra kontingentas, vadinamas „neapibrėžtu pareiškimu“. Taigi p, ~ p, p • q, pvq ir p ﬤ q yra visos neapibrėžtųjų ataskaitų formos. Ir tokie teiginiai kaip L, L, L • W, L ᵛW ir L ﬤ W yra neapibrėžti teiginiai, nes jų tiesos vertės priklauso nuo jų turinio, o ne tik jų formos.

Ne visos pareiškimo formos yra tokios akivaizdžiai tautologinės ar savarankiškos ar kontingentiškos, kaip minimi paprasti pavyzdžiai. Pavyzdžiui, pareiškimo forma [(p ﬤ q) ﬤ p] ﬤ 3 p nėra visiškai akivaizdi, nors jos tiesos lentelė parodys, kad tai yra tautologija. Jis netgi turi ypatingą pavadinimą „Peirce įstatymas“.

Materialinė atitiktis:

Manoma, kad du teiginiai yra „materialiai lygiaverčiai“ arba „lygiaverčiai tiesos vertei“, kai jie abu yra teisingi arba abu. Ši sąvoka išreiškiama simboliu „≡“. Materialus lygiavertiškumas yra tiesos funkcija ir gali būti apibrėžta pagal šią tiesos lentelę:

Kai du teiginiai yra iš esmės lygiaverčiai, jie iš esmės reiškia vienas kitą. Tai lengvai patvirtina tiesos lentelė. Taigi simbolis „=“ gali būti skaitomas „jei ir tik jei.“ Formulės p = q pareiškimas vadinamas „dviem sąlyginėmis“, o forma taip pat vadinama „dviem sąlyginėmis“.

Loginis lygiavertiškumas:

Du teiginiai logiškai lygiaverčiai, kai (jų pareiškimas) jų materialinis lygiavertiškumas yra tautologija. Taigi, „dvigubo neigimo principas“, išreikštas dvejopo p ≡ ~ ~ p, yra įrodytas kaip tautologinis pagal šią tiesos lentelę:

kuris įrodo loginį p ≡ ~ ~ p.

Loginio lygiavertiškumo ir materialiojo lygiavertiškumo skirtumas yra labai svarbus. Du teiginiai logiškai yra lygiaverčiai tik tada, kai abu pareiškimai yra visiškai neįmanoma turėti skirtingas tiesos vertes.

Todėl logiškai lygiaverčiai teiginiai turi tą pačią reikšmę ir gali būti pakeisti vienas kitu bet kuriuo tiesos funkciniu kontekstu, nekeičiant šio konteksto tiesos vertės. Tačiau du teiginiai yra iš esmės lygiaverčiai (net jei jie neturi faktinių ryšių tarpusavyje), jei jie tik turi tą pačią tiesos vertę. Taigi pareiškimai, kurie yra vienodai reikšmingi, neabejotinai negali būti pakeisti viena kitai.

De Morgan teorijos:

Yra du loginiai ekvivalentai (ty logiškai teisingi bi-sąlyginiai), turintys tam tikrą vidinį interesą ir svarbą, išreiškiančius sąryšį tarp jungties, disjunkcijos ir neigimo. Kadangi disjunkcija pvq teigia, kad bent vienas iš dviejų jo disjunkcijų yra teisingas, tai neprieštarauja teigiant, kad bent vienas yra klaidingas, bet tik teigdamas, kad abi yra klaidingos. Tokiu būdu įtvirtinant disjunkcijos „pvq“ neigimą logiškai yra lygiavertis p ir q neigimų derinio patvirtinimas. Simboliuose mes turime dvišalias ~ (pvq) ≡ (~ p • ~ q), kurių loginė tiesa nustatoma pagal šią tiesos lentelę:

Panašiai, kadangi tvirtindami p ir q sąsajas teigia, kad abu yra teisingi, prieštaraujant šiam teiginiui, turime tik teigti, kad bent vienas yra klaidingas. Taigi įtvirtinant sąsajos p • q neigimą logiškai yra lygiavertis p ir q neigimų disjunkcijos patvirtinimui. Simboliuose mes turime dviejų sąlygų sąlyginį ~ (p • q) ≡ (~ p ᵛ ~ q), kuris lengvai įrodomas kaip tautologija.

Šie du tautologiniai dviejų sąlygų reikalavimai yra žinomi kaip „De Morgan“ teoremos, kuriuos nurodė matematikas ir logikas Augustas De Morganas (1806-1871). De Morgan teoremos gali būti pateikiamos kartu su anglų kalba

Dviejų teiginių {Disjunction / jungties} neigimas logiškai atitinka dviejų pareiškimų {Konjunktūra / disjunkcija} neigimus.

Tiesos lentelės:

Norėdami išbandyti argumentų formą, išnagrinėjame visus galimus pakeitimo atvejus, kad pamatytume, ar bet kuris iš jų turi tikras prielaidas ir klaidingą išvadą. Žinoma, bet kokia argumentų forma turi begalę daug pakeitimo atvejų, tačiau nereikia jaudintis dėl to, kad juos reikia išnagrinėti vienu metu. Kadangi mus domina tik jų prielaidų ir išvadų teisingumas ar klaidingumas, mums reikia atsižvelgti tik į susijusias tiesos vertybes.

Čia mums rūpimi argumentai apima tik paprastus teiginius ir sudėtinius pareiškimus, kurie yra sukurti iš paprastų pareiškimų, naudojant tiesą veikiančius jungiklius, simbolizuojamus taško, garbanojimo, pleišto ir pasagos.

Todėl gauname visus galimus pakeitimo atvejus, kurių prielaidos ir išvados turi skirtingas tiesos vertes, išnagrinėdamos visas galimas skirtingas tiesos vertybių išdėstymo nuostatas, kurios gali būti pakeistos skirtingiems testuojamų argumentų formų rodikliams.

Kai argumento formoje yra tik du skirtingi pareiškimo kintamieji, p ir q, visi jo pakeitimo atvejai yra arba pakeičiant tiek p, tiek q reikšminius teiginius, arba tikrosios p ir q klaidingos ataskaitos, arba klaidingą vienas - p ir tikrasis q, arba klaidingos ataskaitos tiek p, tiek q. Šie skirtingi atvejai patogiausiai surenkami tiesos lentelės forma. Nuspręsti dėl argumento formos galiojimo

Kiekviena šios lentelės eilutė reiškia visą pakaitinių egzempliorių klasę. Dviejuose pradiniuose arba orientaciniuose stulpeliuose esančios T ir F yra parodymų, pakeistų argumentų formoje kintamųjų p ir q, tiesos vertės. Užpildome trečiąjį stulpelį, nurodydami pradinius arba orientacinius stulpelius ir pasagos simbolio apibrėžimą.

Trečioji stulpelio antraštė yra pirmoji argumento formos prielaida, antroji skiltis yra antroji „prielaida“, o pirmoji skiltis - „išvada“. Nagrinėjant šią tiesos lentelę, matome, kad trečiojoje eilutėje yra T pagal prielaidas ir F išvadą, kuri rodo, kad yra bent vienas šio argumento formos pakeitimo atvejis, kuris turi tikras prielaidas ir klaidingą išvadą.

Šioje eilutėje pakanka įrodyti, kad argumento forma yra netinkama. Bet koks šio konkretaus pavidalo argumentas (t. Y. Bet koks argumentas, kurio konkreti argumento forma yra pateikta argumento forma) sako, kad daro prielaidą dėl to, kad jis yra patvirtintas, nes jo antroji prielaida patvirtina sąlyginės pirmosios prielaidos pasekmes.

Kai kurios dažniausios galiojančios argumento formos:

Disjunkcinis sililizmas:

Tai viena iš paprasčiausių galiojančių argumentų formų, kurios remiasi tuo, kad kiekvienoje tikroje disjunkcijoje bent vienas iš jų turi būti teisingas. Todėl, jei vienas iš jų yra klaidingas, kitas turi būti teisingas. Mes simbolizuojame disjunkcinį sillogizmą taip:

Čia taip pat pradinės arba orientacinės stulpeliai turi visas galimas skirtingas teiginių reikšmes, kurios gali būti pakeistos k ir k kintamaisiais. Trečiąjį stulpelį užpildome nurodydami pirmuosius du ir ketvirtąjį - pirmąjį.

Dabar trečioji eilutė yra vienintelė, kurioje „T“ pasirodo abiejose prielaidose (trečioji ir ketvirtoji stulpeliai), o ten taip pat pasirodo T (antrasis stulpelis). Taigi tiesos lentelė rodo, kad argumento forma neturi jokios pakaitinės instancijos, turinčios tikras prielaidas ir klaidingą išvadą, ir tai įrodo, kad argumentas yra išbandytas.

Modus Ponens:

Paprasčiausias intuityviai galiojančio argumento tipas, susijęs su sąlyginiu pareiškimu, iliustruojamas argumentu:

Jei yra saulė, yra šviesa.

Yra saulė.

Yra šviesa.

Konkreti šio argumento forma, vadinama modus ponens, yra

Čia dvi prielaidos yra pateiktos trečiajame ir pirmame stulpelyje, o išvadą sudaro antrasis. Tik pirmoje eilutėje pateikiami pakeitimo atvejai, kai abi prielaidos yra teisingos, o antrosios stulpelio T parodo, kad šiuose argumentuose daroma išvada. Ši tiesos lentelė nustato bet kokios formos modus ponens argumentų pagrįstumą.

Modus Tollens:

Mes matėme, kad jei sąlyginis pareiškimas yra teisingas, tuomet, jei pasekmė yra klaidinga, pirmtakas turi būti klaidingas. Tokia argumentų forma yra labai paplitusi tam, kad nustatytų tam tikrų abejonių klaidą. Nelaimingo atsitikimo vietoje policija taip gali:

Jei yra saulė, yra šviesa.

Nėra šviesos.

Nėra saulės.

Argumentas būtų simbolizuojamas kaip:

Šio argumento formos, vadinamos modus tollens, galiojimą gali parodyti šis tiesos lentelė

Čia vėl nėra pakaitinio egzemplioriaus, jokios eilutės, kurioje prielaidos, p ﬤ q ir ~ q yra teisingos ir išvados, ~ p, yra klaidingos.

Hipotetinis sililizmas:

Kitas paplitęs intuityvios argumento tipas turi tik sąlygines ataskaitas. Štai pavyzdys:

Jei žmogus dirba nuoširdžiai, jis yra sėkmingas.

Jei žmogus yra sėkmingas, jis gauna laimę.

Jei žmogus nuoširdžiai dirba, jis gauna laimę.

Konkreti šio argumento forma yra

Kadangi šis argumentas, vadinamas „hipotetiniu sillogizmu“, turi tris skirtingus pareiškimo kintamuosius, čia pateikiamoje tiesos lentelėje turi būti trys pradinės arba orientacinės stulpeliai ir reikės aštuonių eilučių galimų pakeitimo atvejų sąrašui. Be pradinių stulpelių, reikalingi trys papildomi stulpeliai: du prielaidoms, trečiasis - išvados. Lentelė rodoma kaip

Kurdami jį užpildome ketvirtą stulpelį, grįždami į pirmąjį ir antrąjį, penktą pagal antrąjį ir trečiąjį, o šeštą - pagal pirmąjį ir trečiąjį. Nagrinėdami užpildytą lentelę pastebime, kad prielaidos yra teisingos tik pirmoje, penktoje, septintoje ir aštuntoje eilutėse ir kad visose šiose išvadose taip pat yra tiesa. Ši tiesos lentelė nustato argumento formos pagrįstumą ir įrodo, kad hipotetinis sililizmas taip pat išlieka galiojantis, kai jo sąlyginiai teiginiai verčiami pasagos simboliu.

Oficialus galiojimo įrodymas:

Teoriškai tiesų lentelės yra pakankamos, kad būtų galima patikrinti bet kokio čia svarstomo bendro pobūdžio argumento pagrįstumą. Tačiau praktikoje jie auga sunkiai, nes padidėja komponentų ataskaitų skaičius. Veiksmingesnis išplėstinio argumento pagrįstumo nustatymo metodas yra iš jo prielaidų padaryti išvadą iš elementarių argumentų, kurių kiekvienas yra žinomas, seka. Šis metodas gana gerai atitinka įprastinius argumentavimo metodus.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, šį argumentą:

Jei Sapna buvo nominuota, ji nuėjo į Delį.

Jei ji nuvyko į Delį, ji ten kovojo.

Jei ji ten kovojo, ji susitiko su Harish.

Sapna neatitiko Harisho.

Buvo pasirinkta arba „Sapna“, arba buvo pasirinktas kažkas tinkamesnis.

Todėl buvo pasirinktas kažkas tinkamesnis.

Jo galiojimas gali būti intuityvus, tačiau apsvarstykime įrodymų klausimą. Diskusija bus palengvinta perkeliant argumentą į mūsų simboliką

Norint nustatyti šio argumento galiojimą tiesos lentelės pagalba, reikės su trisdešimt dvi eilutes, nes yra penki skirtingi paprasti teiginiai. Tačiau mes galime įrodyti, kad šis argumentas galioja, iš jo prielaidų išvadą atėmus tik keturių elementarių galiojančių argumentų seka.

Iš pirmųjų dviejų prielaidų A ﬤ B ir B ﬤ C teisėtai patvirtinome A A C hipotetinį syllogism. A ﬤ C ir trečioji prielaida C ﬤ D galime teisingai nustatyti A ﬤ D kitą hipotetinį syllogism. Iš A ﬤ D ir ketvirtosios prielaidos ~ D galime daryti išvadą ~ A pagal modus tollens. Ir iš ~ A ir penktos prielaidos A ᵛ E, pagal disjunkcinį syllogism, teisingai darome išvadą E, pirminio argumento išvadą.

Tai, kad iš penkių pirminių argumentų prielaidų galima daryti išvadą keturiais pagrindiniais galiojančiais argumentais, patvirtina, kad pirminis argumentas yra pagrįstas. Čia pagrindiniai argumentai, pagrįsti hipotetiniu syllogizmu (HS), modus tollens (MT) ir disjunkciniu syllogism (DS), yra naudojami kaip išvados taisyklės, pagal kurias išvados yra teisėtai padarytos arba padarytos iš prielaidų.

Formalesnis galiojimo įrodymas pateikiamas rašant prielaidas ir pareiškimus, kuriuos iš jų padarome viename stulpelyje; ir palikdami kitą stulpelį, kiekvienos tokio teiginio, jo „pagrindimo“, arba priežasties, dėl kurios galime jį įtraukti į įrodymą, teisę.

Pirmiausia reikia išvardyti visas prielaidas ir šiek tiek įrašyti išvadą į vieną pusę, atskirtą įstrižai nuo prielaidų. Įstrižainės linija automatiškai žymi visus teiginius virš jo kaip prielaidas. Jei visi skiltyje pateikiami teiginiai yra sunumeruoti, kiekvienos ataskaitos „pateisinimas“ susideda iš ankstesnių teiginių, iš kurių jis daromas, numeriai kartu su išvados taisyklės santrauka, kuria remiantis jis išplaukia. Formalus įrodymas apie aukščiau pateiktą argumentą yra parašytas taip:

Mes apibrėžiame oficialų įrodymą, kad konkretus argumentas galioja kaip sekų seka, iš kurios kiekvienas yra arba šio argumento prielaida, arba iš ankstesnių sekos teiginių, pateiktų elementariu galiojančiu argumentu, kad paskutinis teiginys sekoje yra argumento, kurio galiojimas yra įrodytas, sudarymas.

Mes apibrėžiame pagrindinį galiojantį argumentą bet kuriuo argumentu, kuris yra elementarios galiojančios argumento formos pakaitalas. Vienas dalykas, kurį reikia pabrėžti, yra tai, kad bet koks elementarios galiojančios argumento formos pakaitinis atvejis yra elementarusis galiojantis argumentas. Taigi argumentas

yra elementinis galiojantis argumentas, nes tai yra elementinio galiojančio argumento formos modus ponens (MP) pakeitimas. Tai atsiranda

pakeičiant A • B už p ir C ≡ (D v E) q ir todėl yra tokios formos, nors modus ponens nėra konkreti konkretaus argumento forma.

Modus ponens yra labai elementari galiojanti argumento forma, bet kokios kitos galiojančios argumentų formos turi būti įtrauktos kaip išvados taisyklės? Pradedame tik su devynių taisyklių išvadų sąrašu, kuris bus naudojamas formuojant oficialius galiojimo įrodymus:

Išvados taisyklės:

1. Modus Ponens (MP)

p ﬤ q