„Chi-Square“ testas: reikšmė, programos ir naudojimo būdai
Perskaitę šį straipsnį, sužinosite apie: - 1. Chi kvadrato testo reikšmė 2. Chi kvadrato bandymo reikšmės lygiai 3. Chi kvadrato testas pagal Null hipotezę 4. Galiojimo sąlygos 5. Priedo savybės 5. Priedas 7. Naudojimas.
„Chi-Square“ bandymo reikšmė:
Chi kvadrato (χ 2 ) testas yra naudingas metodas eksperimentiškai gautiems rezultatams lyginti su teoriškai gautais rezultatais.
Taigi Chi kvadratas yra tikrojo ir laukiamo dažnio skirtumo matas. Labai akivaizdu, kad tokios priemonės svarba būtų labai didelė atrankos tyrimuose, kai mes visada tiriame teorijos ir faktų skirtumus.
Chi kvadratas, kaip matėme, yra skirtumo tarp laukiamų ir stebimų dažnių matas ir, jei nėra skirtumo tarp laukiamų ir stebimų dažnių, Chi kvadrato vertė yra 0.
Jei yra skirtumas tarp stebimų ir laukiamų dažnių, Chi kvadrato vertė būtų didesnė nei 0. Tai yra, tuo didesnis Chi kvadratas, tuo didesnė tikimybė, kad eksperimentiškai pastebimas rezultatas bus realus.
Jei apskaičiuota chi kvadrato vertė yra labai maža, palyginti su jo lentelės verte, tai rodo, kad skirtumas tarp faktinių ir laukiamų dažnių yra labai mažas, todėl tinkamas yra geras. Kita vertus, jei apskaičiuota chi kvadrato vertė yra labai didelė, palyginti su jo lentelės verte, tai rodo, kad skirtumas tarp laukiamų ir stebimų dažnių yra labai didelis, todėl tinkamas yra blogas.
Norėdami įvertinti „Chi-square“, į E lentelę įrašome apskaičiuotą kvadrato vertę ir atitinkamą laisvės laipsnių skaičių. Df = (r - 1) (c - 1) skaičius, kuriame r yra eilučių skaičius ir c stulpelių, kuriuose duomenys pateikiami lentelėje, skaičius.
Taigi 2 x 2 stalo laisvės laipsniai yra (2 - 1) (2 - 1) arba 1. Lygiai taip pat 3 x 3 stalo laisvės laipsniai yra (3 - 1) (3 - 1) arba 4 ir 3 x. 4 stalo laisvės laipsniai yra (3 - 1) (4 - 1) arba 6.
Či kvadrato bandymo reikšmingumo lygiai:
Apskaičiuotos χ 2 (Chi kvadrato) vertės yra lyginamos su lentelės reikšmėmis, kad būtų galima nustatyti, ar skirtumas tarp laukiamų ir stebimų dažnių atsiranda dėl mėginių svyravimų ir kaip reikšmingas, ar skirtumas yra dėl kitos priežasties ir toks didelis. Teorijos ir fakto skirtumai visada tikrinami pagal tam tikras tikimybes.
Tikimybės rodo, kokio masto pasitikėjimą mes galime padaryti išvadoje. Lentelės reikšmės values 2 yra prieinamos įvairiais tikimybės lygiais. Šie lygiai vadinami reikšmingumo lygiais. Paprastai tables 2 reikšmė .05 ir .01 reikšmių reikšmei tam tikram laisvės laipsniui matoma iš lentelių.
Jei apskaičiuota χ 2 vertė yra didesnė už lentelės reikšmę, tai yra reikšminga. Kitaip tariant, pastebėtų ir laukiamų dažnių neatitikimas negali būti priskirtas atsitiktinumui, ir mes atmetame nulinę hipotezę.
Taigi darome išvadą, kad eksperimentas nepalaiko teorijos. Kita vertus, jei apskaičiuota χ 2 reikšmė yra mažesnė už atitinkamą lentelės vertę, tai yra nereikšminga reikiamu reikšmės lygiu.
Tai reiškia, kad pastebėtų verčių (eksperimento) ir numatomų verčių (teorijos) neatitikimas gali būti priskirtas atsitiktinumui, ty mėginių ėmimo svyravimams.
„Chi-Square“ bandymas pagal nulinę hipotezę:
Tarkime, mums suteikiamas stebimų dažnių, gautų atlikus tam tikrą eksperimentą, rinkinys, ir mes norime išbandyti, ar eksperimentiniai rezultatai palaiko tam tikrą hipotezę ar teoriją. Karl Pearson 1990 m. Parengė bandymą, skirtą bandymų reikšmių ir teorinių reikšmių, gautų pagal tam tikrą teoriją ar hipotezę, neatitikimo reikšmingumui nustatyti.
Šis testas yra žinomas kaip χ 2 testas ir naudojamas norint patikrinti, ar nuokrypis tarp stebėjimo (eksperimento) ir teorijos gali būti priskirtas atsitiktinumui (mėginių ėmimo svyravimams) arba jei jis iš tikrųjų yra dėl to, kad teorija neatitinka pastebėto duomenis.
Pagal Null hipotezę teigiame, kad nėra reikšmingo skirtumo tarp stebimų (eksperimentinių) ir teorinių ar hipotetinių verčių, ty yra geras teorijos ir eksperimento suderinamumas.
Chi kvadrato lygtis (χ 2 ) nurodoma taip:
kurioje f o = pastebėtų arba eksperimentiškai nustatytų faktų atsiradimo dažnis
f e = tikėtinas pasireiškimo dažnis kai kuri hipotezė.
Taigi chi kvadratas yra vertybių, gautų skirstant kvadratą tarp pastebėto ir laukiamo dažnio kvadrato kiekvienu atveju, suma. Kitaip tariant, skirtumai tarp stebimų ir laukiamų dažnių yra kvadratiniai ir padalinami iš kiekvienu atveju tikėtino skaičiaus, o šių koeficientų suma yra χ 2 .
Keletas chi kvadrato testo iliustracijų paaiškins aukščiau pateiktą diskusiją. F o ir f e skirtumai rašomi visada + ve.
1. Tirtų rezultatų skirtumų testavimas iš tų, kurių tikimasi vienodos tikimybės hipotezėje (nulinė hipotezė):
1 pavyzdys:
Devyniasdešimt šeši subjektai raginami pareikšti savo požiūrį į pasiūlymą „Ar AIDS ugdymas turėtų būti integruotas į aukštesniojo vidurinio ugdymo pakopą“, pažymint F (palankus), I (abejingas) arba U (nepalankus).
Pastebėta, kad 48 pažymėtos „F“, 24 „I“ ir 24 „U“:
(i) Patikrinkite, ar pastebėti rezultatai labai skiriasi nuo laukiamų rezultatų, jei grupėje nebus jokių preferencijų.
(ii) išbandykite hipotezę, kad „nėra skirtumų tarp grupės nuostatų“.
iii) interpretuoti išvadas.
Sprendimas:
Apskaičiuojant x 2 gali būti laikomasi šių veiksmų ir padarytos išvados:
1 žingsnis:
Apskaičiuokite numatomus dažnius (f e ), atitinkančius pastebėtus dažnius kiekvienu atveju pagal tam tikrą teoriją ar hipotezę.
Mūsų pavyzdyje teorija yra vienodos tikimybės (nulinės hipotezės). Antroje eilutėje atsakymų, kuriuos tikimasi pasiskirstyti pagal nulinę hipotezę, pasiskirstymas yra parenkamas vienodai.
2 žingsnis:
Apskaičiuokite kiekvieno dažnio nuokrypius (f o - f e ). Kiekvienas iš šių skirtumų yra kvadratas ir padalintas iš jo fe (256/32, 64/32 ir 64/32).
3 žingsnis:
Pridėkite šias reikšmes apskaičiuoti:
4 veiksmas:
Laisvės laipsniai lentelėje apskaičiuojami pagal formulę df = (r - 1) (c - 1), kuris yra (3 - 1) (2 - 1) arba 2.
5 veiksmas:
Apskaičiuokite apskaičiuotas (kritines) reikšmes χ 2 2 df tam tikru reikšmingumo lygiu, paprastai 5% arba 1%.
Kai df = 2, significant 2 reikšmė reikšminga .01 lygiu yra 9, 21 (E lentelė). Gauta χ 2 vertė 12> 9.21.
i. Taigi didelis skirtumas yra didelis.
ii. Nulinė hipotezė atmetama.
iii. Darome išvadą, kad mūsų frakcija tikrai palankiai vertina pasiūlymą.
Mes atmetame „vienodo atsakymo“ hipotezę ir darome išvadą, kad mūsų frakcija palankiai vertina pasiūlymą.
2 pavyzdys:
Automobilių avarijų per savaitę skaičius tam tikroje bendruomenėje buvo toks:
12, 8, 20, 2, 14, 10, 15, 6, 9, 4
Ar šie dažniai sutampa su įsitikinimu, kad nelaimingų atsitikimų sąlygos per tą 10 savaičių laikotarpį buvo tokios pačios?
Sprendimas:
Nulio hipotezė - nustatykite nulinę hipotezę, kad tam tikri dažniai (nelaimingų atsitikimų skaičius per savaitę tam tikroje bendruomenėje) atitinka įsitikinimą, kad nelaimingų atsitikimų sąlygos per 10 savaičių buvo tokios pačios.
Kadangi bendras nelaimingų atsitikimų skaičius per 10 savaičių yra:
12 + 8 + 20 + 2 + 14 + 10 + 15 + 6 + 9 + 4 = 100.
Nulinės hipotezės atveju šie nelaimingi atsitikimai turėtų būti vienodai paskirstomi per 10 savaičių laikotarpį, taigi tikėtinas nelaimingų atsitikimų skaičius kiekvienai iš 10 savaičių yra 100/10 = 10.
Kadangi apskaičiuota χ 2 = 26, 6 vertė yra didesnė už lentelės vertę, 21.666. Tai reikšminga, o nulinės hipotezės atmetimas buvo reikšmingas .01. Todėl darome išvadą, kad nelaimingų atsitikimų sąlygos tikrai nėra vienodos per 10 savaičių laikotarpį.
2. Tiriamųjų rezultatų skirtumo testavimas iš tų, kurių tikimasi esant normalaus pasiskirstymo hipotezei:
Hipotezė, o ne vienodai tikėtina, gali sekti normalų pasiskirstymą. Pavyzdys iliustruoja, kaip ši hipotezė gali būti išbandyta chi kvadratu.
3 pavyzdys:
Du šimtai pardavėjų buvo suskirstyti į tris grupes - labai geras, patenkinamas ir neturtingas - pardavimų vadovų sutarimu.
Ar šis reitingų pasiskirstymas labai skiriasi nuo tikėtino, jei pardavimų gebėjimai paprastai paskirstomi mūsų pardavėjų populiacijoje?
Mes nustatėme hipotezę, kad pardavimo galimybės paprastai yra paskirstytos. Normali kreivė yra nuo - 3σ iki + 3σ. Jei pardavimo pajėgumas paprastai paskirstomas, bazinė linija gali būti suskirstyta į tris lygius segmentus, ty
(+ 1σ iki + 3σ), (- 1σ iki + 1σ) ir (- 3σ iki - 1σ), atitinkantys atitinkamai gerus, patenkinamus ir prastus pardavėjus. Nurodant A lentelę, matome, kad 16% atvejų yra tarp +1σ ir + 3σ, 68% tarp - 1σ ir +1σ ir 16% tarp - 3σ ir - 1σ. Mūsų problemos atveju 16% iš 200 = 32 ir 68% 200 = 136.
df = 2. P yra mažesnis nei 0, 01
Apskaičiuota χ 2 = 72, 76
Apskaičiuota χ 2 iš 72, 76> 9, 21. Taigi P yra mažesnis nei 0, 01.
.˙. Skirtumas tarp stebimų dažnių ir laukiamų dažnių yra gana didelis. Dėl šios priežasties hipotezė, kad šioje grupėje yra įprastas pardavimo pajėgumų pasiskirstymas, turi būti atmestas. Todėl darome išvadą, kad reitingų paskirstymas skiriasi nuo numatomo.
3. „Chi-square“ testas, kai mūsų lūkesčiai grindžiami iš anksto nustatytais rezultatais:
4 pavyzdys:
Be žirnių veisimo eksperimento tyrėjas gavo šiuos duomenis:
Teorijoje prognozuojama pupelių dalis, keturiose A, B, C ir D grupėse turėtų būti 9: 3: 3: 1. Eksperimente tarp 1600 pupelių, skaičiai keturiose grupėse buvo 882, 313, 287 ir 118. Ar eksperimento rezultatai palaiko genetinę teoriją? (Bandymas .05 lygiu).
Sprendimas:
Mes nustatėme nulinę hipotezę, kad nėra reikšmingo skirtumo tarp eksperimentinių verčių ir teorijos. Kitaip tariant, yra geras teorijos ir eksperimento atitikimas, ty teorija palaiko eksperimentą.
Kadangi apskaičiuota χ 2 vertė yra 4, 726 <7, 81, tai nėra reikšminga. Todėl nulinė hipotezė gali būti priimta .05 reikšmės lygiu ir galime daryti išvadą, kad eksperimentiniai rezultatai palaiko genetinę teoriją.
4. „Chi-square“ testas, kai lentelės įrašai yra maži:
Kai lentelės įrašai yra nedideli ir kai lentelė yra 2 x 2 kartus, ty df = 1, χ 2 yra didelė klaida, nebent būtų atliktas tęstinumo koregavimas (vadinamas „Yates“ pataisa).
5 pavyzdys:
Keturiasdešimt žiurkių buvo pasiūlyta galimybė rinktis iš dviejų maršrutų. Buvo nustatyta, kad 13 pasirinko apšviestus maršrutus (ty maršrutus su daugiau apšvietimu) ir 27 pasirinko tamsius maršrutus.
i) Išbandykite hipotezę, kad apšvietimas nekelia skirtumo tarp žiurkių pirmenybės maršrutams (bandymas - 0, 05 lygiu).
(ii) Patikrinkite, ar žiurkės turi pirmenybę tamsiems maršrutams.
Sprendimas:
Jei apšvietimas nesuteikia pirmenybės maršrutams, ty jei H 0 yra tiesa, proporcingas pageidavimas būtų 1/2 kiekvienam maršrutui (ty 20).
Mūsų pavyzdyje mes turime atimti .5 iš kiekvieno (f o - f e ) skirtumo dėl šios priežasties:
Duomenys gali būti pateikiami taip:
Kai tikėtini įrašai 2 x 2 kartus yra tokie patys, kaip ir mūsų problemoje, chi kvadrato formulė gali būti parašyta šiek tiek trumpesne forma:
i) kritinė χ 2 vertė, esant 0, 05 lygiui, yra 3, 841. Gautas χ 2 iš 4, 22 yra didesnis nei 3, 841. Taigi nulinis hipotezė atmetama .05 lygiu. Matyt, šviesos ar tamsos yra žiurkių pasirinkimo maršrutams veiksnys.
(ii) Mūsų pavyzdyje turime atlikti vienpusį bandymą. Įvedus lentelę E, matome, kad χ 2 iš 4, 22 turi P = 0, 043 (interpoliuojant).
.˙. P / 2 = 0, 015 arba 2%. Kitaip tariant, 100 yra 100 galimybių, kad toks skirtumas būtų.
Taigi, mes pastebime, kad skirtumas yra reikšmingas 02 lygiu.
Todėl darome išvadą, kad žiurkės turi pirmenybę tamsiems maršrutams.
5. Chi kvadrato nepriklausomumo bandymas nenumatytų atvejų lentelėse:
Kartais mes galime susidurti su situacijomis, kurios reikalauja patikrinti, ar tarp dviejų kintamųjų ar atributų yra kokių nors santykių (ar asociacijų). Kitaip tariant, χ 2 galima padaryti, kai norime ištirti ryšį tarp bruožų ar požymių, kuriuos galima suskirstyti į dvi ar daugiau kategorijų.
Pavyzdžiui, gali būti reikalaujama išbandyti, ar tėvo akių spalva yra siejama su sūnų akių spalva, ar šeimos socialinė ir ekonominė padėtis yra susijusi su skirtingų prekių ženklų pirmenybe, ar švietimas poros ir šeimos dydis yra susijęs su tuo, ar tam tikra vakcina turi kontrolinį poveikį konkrečiai ligai ir pan.
Norėdami atlikti bandymą, parengiame nenumatytų atvejų lentelės pabaigą, kad apskaičiuotume fe (numatomą dažnį) kiekvienam nenumatytų atvejų lentelės langeliui ir tada apskaičiuotume χ 2, naudojant formulę:
Nulinės hipotezės:
χ 2 apskaičiuojama darant prielaidą, kad abu atributai yra nepriklausomi vienas nuo kito, ty tarp dviejų atributų nėra ryšio.
Numatomas ląstelių dažnio apskaičiavimas yra toks:
6 pavyzdys:
Tam tikrame 2 000 šeimų pavyzdyje 1400 šeimų yra arbatos vartotojai, kur 1236 yra indų šeimos ir 164 yra ne induistai.
Ir 600 šeimų nėra arbatos vartotojai, kur 564 yra indų šeimos, o 36 - ne induistų. Naudokite χ 2 - patikrinkite ir nurodykite, ar yra didelis skirtumas tarp arbatos vartojimo tarp indų ir ne indų šeimų.
Sprendimas:
Pirmiau pateikti duomenys gali būti išdėstyti kaip 2 x 2 nenumatytų atvejų lentelė, kaip nurodyta toliau:
Mes nustatėme nulinę hipotezę (H 0 ), kad du atributai - „arbatos vartojimas“ ir „bendruomenė“ yra nepriklausomi. Kitaip tariant, nėra reikšmingo skirtumo tarp arbatos vartojimo tarp indų ir ne indų šeimų.
Kadangi apskaičiuota χ 2, ty 15, 24, reikšmė yra daug didesnė už lentelės reikšmę χ 2 reikšmės 0, 01 lygiu; χ2 vertė yra labai reikšminga ir nulinė hipotezė atmetama.
Taigi darome išvadą, kad dvi bendruomenės (induistų ir ne induistų) labai skiriasi tarp arbatos vartojimo.
7 pavyzdys:
Toliau pateiktoje lentelėje pateikiami choleros epidemijos metu gauti duomenys.
Patikrinkite inokuliacijos veiksmingumą, siekiant išvengti choleros atakos.
Sprendimas:
Mes nustatėme nulinę hipotezę (H 0 ), kad šie du atributai, ty inokuliacija ir choleros ataka nėra susiję. Šios dvi lentelės savybės yra nepriklausomos.
Remdamiesi mūsų hipoteze, mes galime apskaičiuoti numatomus dažnius taip:
(F e ) apskaičiavimas:
Penkių procentų χ 2 vertė 1 df yra 3, 841, o tai yra daug mažesnė nei apskaičiuota χ 2 vertė. Taigi, atsižvelgiant į tai, darytina išvada, kad hipotezė yra neteisinga ir yra siejama inokuliacija ir choleros ataka.
Či kvadrato bandymo galiojimo sąlygos:
Chi kvadratinio testo statistiką galima naudoti, jei tenkinamos šios sąlygos:
1. N, bendras dažnis, turėtų būti pakankamai didelis, tarkim, didesnis nei 50.
2. Mėginių pastabos turėtų būti nepriklausomos. Tai reiškia, kad mėginyje neturėtų būti du ar daugiau atskirų elementų.
3. Ląstelių dažnių apribojimai, jei tokių yra, turėtų būti tiesiniai (ty jie neturi apimti kvadratinių ir didesnių dažnių galių), pvz., ∑f o = ∑f e = N.
4. Teorinis dažnumas neturėtų būti mažas. Mažas yra santykinis terminas. Pageidautina, kad kiekvienas teorinis dažnis būtų didesnis nei 10, bet bet kuriuo atveju ne mažesnis kaip 5.
Jei teorinis dažnis yra mažesnis nei 5, mes negalime taikyti 2 testų. Tokiu atveju mes naudojame „sutelkimo“ metodą, kuris susideda iš dažnių, kurie yra mažesni kaip 5, su ankstesniu ar paskesniu dažniu (dažniais), kad gauta suma būtų didesnė už 5 ir atitinkamai koreguotų pagal laisvės laipsnius.
5. Nurodytas pasiskirstymas neturėtų būti pakeistas santykiniais dažniais ar proporcijomis, tačiau duomenys turėtų būti pateikiami originaliais vienetais.
6. Yates korekcija turėtų būti taikoma ypatingomis aplinkybėmis, kai df = 1 (ty 2 x 2 lentelėse) ir kai ląstelių įrašai yra nedideli.
7. χ 2 testas dažniausiai naudojamas kaip nekryptinis testas (ty atliekame dviejų dalių testą). Tačiau gali būti atvejų, kai vienas bandymas gali būti atliekamas 2 bandymams.
Vieno bandymo metu dvigubai P vertės. Pavyzdžiui, df = 1, kritinė reikšmė χ 2 05 lygiu yra 2.706 (2.706 yra vertė, parašyta pagal 10 lygį) ir kritinė vertė; χ 2 .01 lygiu yra 5, 412 (vertė yra parašyta po .02 lygiu).
„Chi-Square“ bandymo priedas:
χ 2 turi labai naudingą papildymo savybę. Jei tame pačiame lauke buvo atlikti keli mėginių tyrimai, rezultatai gali būti sujungti, kad būtų gauta tiksli idėja apie tikrąją padėtį.
Tarkime, kad buvo atlikti dešimt eksperimentų, siekiant patikrinti, ar konkreti vakcina yra veiksminga prieš tam tikrą ligą. Dabar čia turėsime dešimt skirtingų f 2 ir dešimties skirtingų df reikšmių.
Mes galime pridėti dešimt χ 2, kad gautume vieną vertę, ir taip pat galima pridėti ir dešimt df reikšmių. Taigi, mes turėsime vieną vertę χ 2 ir vieną laisvės laipsnių vertę. Dabar mes galime išbandyti visų šių dešimties eksperimentų rezultatus kartu ir sužinoti P.
Tarkime, kad tam tikrame lauke atlikti penki nepriklausomi eksperimentai. Tarkime, kiekvienu atveju buvo viena df, ir buvo gautos χ 2 vertės.
Dabar, esant 5% reikšmės lygiui (arba P - 0, 05), vieno df vertė χ 2 yra 3.841. Iš pirmiau pateiktų apskaičiuotų χ 2 verčių pastebime, kad tik vienu lengvumu, ty 3 eksperimente, stebėta χ 2 vertė yra mažesnė už lentelės vertę 3.841.
Tai reiškia, kad, kiek tai susiję su šiuo eksperimentu, skirtumas yra nereikšmingas, tačiau likusiais keturiais atvejais apskaičiuota χ 2 vertė yra didesnė nei 3, 841, todėl 5% reikšmingumo lygio skirtumas tarp laukiamo ir tikrojo dažnio yra reikšmingas. .
Jei pridėsime visas χ 2 reikšmes, gauname (4.3 + 5.7 + 2.1 + 3.9 + 8.3) arba 24.3. Bendras laisvės laipsnių skaičius yra 5. Tai reiškia, kad apskaičiuota χ 2 vertė 5 df yra 24, 3.
Jei žiūrime į χ 2 lentelę, pamatysime, kad 5% reikšmės 5 df reikšmei χ 2 yra 11.070. Apskaičiuota χ 2 vertė, kuri yra 24, 3, yra daug didesnė už lentelės reikšmę, todėl galime daryti išvadą, kad skirtumas tarp stebimų ir laukiamų dažnių yra reikšmingas.
Net jei mes imame 1% reikšmingumo lygį (arba P = .01), lentelės vertė χ 2 yra tik 15.086. Taigi tikimybė gauti χ 2, lygią arba didesnę kaip 24, 3, dėl atrankos svyravimų yra daug mažesnė nei netgi .01 arba, kitaip tariant, skirtumas yra reikšmingas.
„Chi-Test“ taikymas:
Χ 2 testų statistikos taikymas gali būti aptartas taip:
1. Ištirtų rezultatų skirtumų testavimas iš laukiamų rezultatų, kai mūsų lūkesčiai grindžiami vienodos tikimybės hipoteze.
2. „Chi-square“ testas, kai lūkesčiai grindžiami normaliu paskirstymu.
3. „Chi-square“ testas, kai mūsų lūkesčiai pagrįsti iš anksto nustatytais rezultatais.
4. Neatitikties arba Yates korekcijos koregavimas apskaičiuojant χ 2 .
5. Chi kvadrato nepriklausomumo bandymas nenumatytų atvejų lentelėse.
„Chi-Square“ testo naudojimas:
1. Nors bandymas atliekamas pagal dažnį, jis geriausiai gali būti konceptualiai vertinamas kaip proporcijų testas.
2. χ 2 testas naudojamas testuojant hipotezę ir nėra naudingas vertinimui.
3. Chi kvadrato testas gali būti taikomas sudėtingoms nenumatytų atvejų lentelėms su keliomis klasėmis.
4. „Chi-square“ testas yra labai naudingas, ty „priedų nuosavybė“. Jei toje pačioje srityje atliekami keli mėginių tyrimai, rezultatai gali būti sujungti. Tai reiškia, kad galima pridėti χ 2 reikšmes.
